正交投影的定义 如何求某一个矩阵的正交投影矩阵？

如何求某一个矩阵的正交投影矩阵？

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投影矩阵P:满足P^2=P

正交投影矩阵P:P“=P=P^2

超定线性方程组AX=B通常转化为解Pax=Pb，其中P是从整个空间到a的范围im（a）的投影，a“AX=a”B]可以通过等价变换得到。在线性代数和泛函分析中，投影是从向量空间到自身的线性变换，是日常生活中“平行投影”概念的形式化和推广。就像太阳光在现实中把物体投射到地面一样，投影变换将整个向量空间映射到它的一个子空间，在这个子空间中，它是一个恒等变换。

如何求某一个矩阵的正交投影矩阵？

X是一个矩阵，正交投影。可以理解为将向量投影到X的列向量空间中，对应的投影矩阵为：X（X“X）^（-1）X”，负幂表示矩阵的逆。

什么是正交矩阵？

如果：AA“=e（e是单位矩阵，a”表示“矩阵a的转置矩阵”）或a′a=e，则n阶实矩阵a称为正交矩阵，例如：1010矩阵a的转置：011a:01，则AA“=e，因此a本身就是正交矩阵。因为AA“=e是由逆矩阵定义的，如果AB=e，那么B是A的逆矩阵，A”是A的逆矩阵，也就是说，正交矩阵本身必须是可逆矩阵，也就是说，如果A是正交矩阵，则a的n行（列）向量是n维向量空间的一组标准正交基（矩阵）是元素为实数、行和列为正交单位向量的分块矩阵Q，因此矩阵的转置矩阵是其逆矩阵。正交矩阵作为一个线性映射（变换矩阵），保持距离不变，是一个保距离映射。具体的例子是旋转和镜像。行列式值为1的正交矩阵称为特殊正交矩阵，它是一个旋转矩阵。行列式为-1的正交矩阵称为缺陷旋转矩阵。旋转就是旋转加反射。镜面反射也是一种缺陷旋转。

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