普利姆算法（prim）求最小生成树（MST）过程详解

1. 最小生成树相关概念

带权图：边赋以权值的图称为网或带权图，带权图的生成树也是带权的，生成树T各边的权值总和称为该树的权。

最小生成树（MST）：权值最小的生成树。

生成树和最小生成树的应用：要连通n个城市需要n－1条边线路。可以把边上的权值解释为线路的造价。则最小生成树表示使其造价最小的生成树。

2. 最小生成树的性质

MST性质：假设G(V,E)是一个连通网，U是顶点V的一个非空子集。若(u,v)是一条具有最小权值的边，其中u∈U，v∈V－U，则必存在一棵包含边(u,v)的最小生成树。

构造网的最小生成树必须解决下面两个问题：

(1) 尽可能选取权值小的边，但不能构成回路；

(2) 选取n－1条恰当的边以连通n个顶点；

普利姆算法（prim算法）是一种常用的求解最小生成树问题的算法。以下是使用prim算法求解最小生成树的过程：

1. 初始化空的最小生成树T和一个集合S，将任意顶点v0加入S。

2. 当S不包含所有顶点时，执行以下步骤：

- 从S中选择一条距离T最近的边(u, v)，其中u∈S，v∈V-S，并将v加入S。

- 将边(u, v)加入T。

重复步骤2直到S包含所有顶点，此时T即为最小生成树。

普利姆算法的关键在于选择距离T最近的边。可以使用优先队列来维护这个距离，每次从队列中选择最小的边进行扩展。这样可以保证每次选择的边都是当前生成树T中与外部顶点之间最短的边。

通过普利姆算法求解最小生成树的过程可以简洁明了地找出使得工程造价最小的连通图。这种算法的应用不仅限于城市连通问题，在其他领域也有广泛的应用，例如网络规划、电力输送等。

希望以上对prim算法求最小生成树过程的图例方式详述能够帮助大家更好地理解和应用该算法。

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