Mathematica应用——处理一个几何问题

问题描述

最近在数学吧里面遇到一个有趣的问题：如图：梯形ABCD，AD//BC，AC和BD交于E，BCBD，CDCE，∠ABD15°。求证：ABAC，AB⊥AC。

解题步骤

1. 首先，假设BCu，∠BCDx。那么，CDCE2u*Cos[x]，DECD^2/BD(2u*Cos[x])^2/u。

化简一下，得到：DE4u*(Cos[x])^2。

2. 然后计算AD的长度。ADBC*DE/BE，而BEBD-DEu-4u*(Cos[x])^2，

所以，ADu*(4u*(Cos[x])^2)/(u-4u*(Cos[x])^2)，

化简之后，得到：AD-4u*(Cos[x])^2/(1-2*Cos[2x])。

3. 下面，从两个方面来计算BD和AD的比值。

一方面，BD：ADu/(-4u*(Cos[x])^2/(1-2*Cos[2x]))，

化简之后，得到：BD:AD-1/4(1-2*Cos[2x])(Sec[x])^2。

4. 另一方面，在△ABD里运用余弦定理，得到：BD:ADSin[2x-15°]/Sin[15°]。

5. 所以，Sin[15°](1-4*(Cos[x])^2)4*Sin[2x-15°]*(Cos[x])^2。

化简之后得到：Sin[15 Degree] (1-4 Cos[x]^2)4 Sin[2 x-15 Degree] Cos[x]^2。

6. 由图像可知，区间π/3到π/2之间，能满足条件的x只有一个。解这个方程：

FindRoot[{Sin[15 Degree] (1-4 Cos[x]^2)-4 Sin[2 x-15 Degree] Cos[x]^2},{x,π/3}]

得到答案是：x->1.309......，其实就是x5π/1275°。

结论

经过Mathematica的计算和分析，可以得出结论：

在梯形ABCD中，当AD//BC，BCBD，CDCE，∠ABD15°时，可以证明ABAC，且AB⊥AC。

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