用Mathematica学习微分几何——曲线论（一）

曲线的参数方程和切向量

在本文中，我们将使用Mathematica来研究曲线的参数方程、切向量、切线方程、法平面方程、弧长以及自然参数等内容。我们将以圆柱螺旋作为示例进行简单的数值检测。圆柱螺旋的参数方程为$r[t]:{Cos[t], Sin[t], t/6}$，其中$t$从0到$6pi$变化。圆柱螺旋是正则曲线，因为$r'[t]

eq0$。

切线方程的求解

我们需要求出圆柱螺旋在$tpi/3$时的切线方程。首先，我们将参数方程表示为$p{x, y, z}$，然后通过消去参数$a$得到螺旋线的切线方程。再通过指定$t ightarrowpi/3$，即可得到所求的切线方程。

求解法平面方程

接下来我们求解圆柱螺旋曲线$r[t]$的法平面方程。由于法平面与切向量垂直，因此$(p-r[t])cdot(r'[t])0$即为法平面方程。

计算弧长

我们将进一步计算螺旋线在区间${t, 0, t}$内的弧长。利用Mathematica中专门求解曲线弧长的函数ArcLength，可以轻松求解出弧长。若将正则曲线的弧长记为$s$，则有$ss[t]$。通过求解$s$和$t$的反函数$tt[s]$，我们可以得到曲线的自然参数方程。

自然参数下的性质

在自然参数下，曲线的参数方程为$r[s]:{Cos[6s/sqrt{37}], Sin[6s/sqrt{37}], s/sqrt{37}}$。值得注意的是，在自然参数下，$r[s]$的导数的模长始终为1，这是一个重要的性质。

通过以上对曲线的参数方程、切向量、切线方程、法平面方程、弧长和自然参数的讨论，我们可以更深入地理解微分几何中曲线的性质和特点。Mathematica提供了强大的工具，帮助我们更加直观地探索曲线的几何特征。

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