探索Sin[z]作用于单位圆的迭代曲线

在数学领域中，我们常常通过迭代的方式探索函数的性质和图像变化。本文将介绍Sin[z]作用于单位圆E^(I t)进行多次迭代后形成的曲线，并通过代码展示迭代过程中曲线的变化。

迭代一次的曲线

首先我们来看一下迭代一次时得到的曲线。通过参数方程ReIm[Nest[Sin, E^(I t), 1]], 我们可以得到迭代一次后的曲线。以下是作图代码：

```mathematica

Show[ParametricPlot[{Cos[t], Sin[t]}, {t, 0, 2Pi}, PlotStyle -> Red, PlotRange -> 2],

ParametricPlot[ReIm[Nest[Sin, E^(I t), 1]], {t, 0, 2Pi}, PlotStyle -> Blue, PlotRange -> All, PlotPoints -> 100]]

```

迭代二次的图像

接着我们观察迭代两次之后的图像变化。

迭代三次

进一步探索迭代三次时曲线的形态。

迭代四次

随着迭代次数增加，曲线的变化也愈发显著，让我们看看迭代四次的结果。

迭代五次的曲线

经过五次迭代后，曲线已经明显偏离了原始的单位圆，呈现出更大的轨迹。

曲线进一步扩张

当我们继续增加迭代次数至六次，曲线的范围进一步扩张，形成的图像趋于无限。

放大远点附近的细节

最后，为了更详细地观察远点附近的细节，我们放大了曲线的绘制范围。

通过对Sin[z]作用于单位圆进行多次迭代的探索，我们可以看到曲线的不断演化和扩张，展现出数学的奇妙之处。迭代过程中图像的变化也启示着数学函数的复杂性和美感。

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