概率论和数理统计：理解例题

在本文中，我们将探讨一道关于概率论和数理统计的例题。这道题目如下：

问题描述：

有一个装有5个球的袋子，每个球都标有“合格”或“不合格”两个字眼。如果我们从袋子里随机抽取一个球，并放回去，求第一次抽到合格球的概率是多少？

解析：

根据题目，袋子里共有5个球，所以我们可以用三种情况来考虑第一次抽到合格球的概率。

1. 第一次抽取就是合格球的概率：

如果第一次抽取就是合格球，那么剩下的球数就是4个。所以第一次合格率为五分之四，即4/5。

2. 第一次抽取不是合格球，但第二次抽取是合格球的概率：

如果第一次抽取不是合格球，剩下的球数为5个，其中有3个合格球。因为我们放回了第一次抽取的球，所以第二次抽取的概率与第一次相同，仍然是五分之四(4/5)。所以第一次不合格，第二次合格的概率为四分之三乘以五分之四，即(3/5) * (4/5)。

3. 第一次抽取不是合格球，第二次抽取也不是合格球，但第三次抽取是合格球的概率：

如果第一次和第二次抽取都不是合格球，剩下的球数为5个，其中有2个合格球。因为我们放回了前两次抽取的球，所以第三次抽取的概率与前两次相同，仍然是五分之四(4/5)。所以第一次不合格，第二次不合格，第三次合格的概率为四分之三乘以四分之三乘以五分之四，即(3/5) * (3/5) * (4/5)。

结果：

根据上述分析，我们得出以下结论：

- 第一次抽到合格球的概率为五分之三(4/5)。

- 在考虑是否放回袋子的情况下，第一次抽到合格球的概率会有所变化。

总结：

概率论和数理统计是数学中重要的分支，它们可以帮助我们理解和预测事件发生的可能性。通过分析例题，我们可以更好地理解概率计算的方法和应用。在实际生活中，概率论和数理统计的知识也可以应用于各种领域，如金融、医学等，帮助我们做出更准确的决策。

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