复数二次开方的位置如何确定

给定复数z a b * I（其中I是虚数单位，a和b是实数），我们可以很容易在复平面上确定z的位置。但是，如何确定Sqrt[z]的位置呢？本文将给出这个问题的精确符号解。

使用Mathematica求解Sqrt[z]

直接使用Mathematica求解Sqrt[z]的显式实部和虚部是行不通的，即使严格指定a和b是实数也不行。例如，Sqrt[a b*I] // ReIm 和 Refine[ReIm[Sqrt[a b*I]], Element[{a, b}, Reals]] 都无法得到正确的结果。

假设Sqrt[z] x y * I

我们假设Sqrt[z] x y * I，其中x和y是实数。那么必有：z (x y * I)^2。将其展开，得到(x y * I)^2 // Expand。

确定方程组

注意到等式两边的实部和虚部应该分别相等，根据此条件可以确定一个方程组。解这个方程组，得到可能的解sol Solve[{x^2 - y^2 a, 2*x*y b}, {x, y}] // FullSimplify。

排除不合适的解

得到四组解，但是注意到x必须是实数。当a和b都是非零实数时，Sqrt[a - Sqrt[a^2 b^2]]不是实数。因此可以排除前两个解：sol Solve[{x^2 - y^2 a, 2*x*y b}, {x, y}][[3;;]] // FullSimplify。

Sqrt[z]的实部和虚部

得到两个不同的复数作为Sqrt[z]的解，它们的实部和虚部如下：sol // Values

关于原点对称性

这两个解是关于原点对称的。读者可能会有疑问：Sqrt[z]对应两个复数，那么-Sqrt[z]也对应两个复数。如此一来，岂不是有四个复数了？其实，还是两个，因为Sqrt[z]和-Sqrt[z]也关于原点对称。

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