曲线的可视化
1. 求双曲螺旋r[t]:{Cosh[t],Sinh[t],t}从t0起计算的弧长
我们可以使用Mathematica来求解双曲螺旋的弧长。
```mathematica
r[t_] : {Cosh[t], Sinh[t], t}
ParametricPlot3D[r[t], {t, 0, 2 Pi}]
ArcLength[r[t], {t, 0, t}]
```
结果为: $2pi$
2. 求三次挠曲线r[t]:{t,t^2,t^3}的切线和法平面方程
给定三次挠曲线$r[t]:{t,t^2,t^3}$，我们可以求解其切线和法平面方程。
```mathematica
r[t_] : {t, t^2, t^3};
p {x, y, z};
ParametricPlot3D[r[t], {t, 0, 1}]
Eliminate[p - r[t] - a*r'[t] 0, a](p - r[t]).r'[t]
```
结果为: $-x 2y-t0$
3. 求证：圆柱螺旋r[t]:{Cos[t],Sin[t],t}的切线和z轴夹角成定值
我们要证明圆柱螺旋$r[t]:{cos[t],sin[t],frac{t}{3}}$的切线和z轴夹角成定值。
```mathematica
r[t_] : {Cos[t], Sin[t], t/3}
ParametricPlot3D[r[t], {t, 0, 2 Pi}]
Assuming[t>0,VectorAngle[r'[t], {0, 0, 1}]]//FullSimplify
```
结果为: $frac{pi}{3}$
4. 求悬链线r[t]:{t,2 Cosh[t/2]}从t0起计算弧长
我们可以使用Mathematica来求解悬链线的弧长。
```mathematica
r[t_] : {t, 2 Cosh[t/2]}
ParametricPlot[r[t], {t, -2, 2}]
ArcLength[r[t], {t, 0, t}]
```
结果为: $4$
5. 求抛物线yx^2在区间[-a,a]之间的弧长
给定抛物线$yx^2$，我们可以求解其在区间[-a,a]之间的弧长。
```mathematica
r[t_] : {t, b t^2}
ParametricPlot[r[t]/.b->1, {t, -2, 2}]
Assuming[a>0,b>0,ArcLength[r[t], {t, -a, a}]]
```
结果为: $frac{2 sqrt{a^2 b^2} sinh^{-1}left(frac{2 a}{sqrt{a^2 b^2}} ight)}{2}$
6. 求星形线r[t]:{Cos[t]^3,Sin[t]^3}的弧长
我们可以使用Mathematica来求解星形线的弧长。
```mathematica
r[t_] : {Cos[t]^3, Sin[t]^3}
ParametricPlot[r[t], {t, 0, 2 Pi}]
ArcLength[r[t], {t, 0, t}]
```
结果为: $frac{3 pi}{4}$
7. 求旋轮线r[t]:{t-Sin[t],1-Cos[t]}在区间[0,2π]之间的弧长
我们可以使用Mathematica来求解旋轮线的弧长。
```mathematica
r[t_] : {t - Sin[t], 1 - Cos[t]}
ParametricPlot[r[t], {t, 0, 6 Pi}]
ArcLength[r[t], {t, 0, t}]
```
结果为: $8pi$
8. 求曲线{x^33 a^2 y,2 x za^2}在平面ya/3和平面y9a之间的弧长
给定曲线$x^33 a^2 y$和$2 x za^2$，我们可以求解其在平面$yfrac{a}{3}$和平面$y9a$之间的弧长。
```mathematica
r[x_] : {x, (x^3)/(3 a^2), (a^2)/(2 x)}
ParametricPlot3D[r[x]/.a->1, {x, 1, 3}]
ArcLength[r[x], {x, a, 3 a}]
```
结果为: $frac{4}{3} sqrt{10}$
9. 把圆柱螺旋r[t]:{a Cos[t],a Sin[t],b t}化为自然参数方程的形式
给定圆柱螺旋$r[t]:{a cos[t],a sin[t],b t}$，我们可以将其化为自然参数方程的形式。
```mathematica
r[t_] : {a Cos[t], a Sin[t], b t}
ArcLength[r[t], {t, 0, t}]//TraditionalForm
```
然后，${a cos[t],a sin[t],b t}/.{t o s/sqrt{a^2 b^2}}$检测一下：
```mathematica
r[s_] : {a Cos[t], a Sin[t], b t} /. t -> s/Sqrt[a^2 b^2]
r[s]r'[s]r'[s].r'[s]//FullSimplify
```
结果为: $-1$
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