svm支持向量机详细公式推导
支持向量机(SVM)是一种常用的机器学习算法，广泛应用于模式识别、文本分类、图像识别等领域。它通过构建一个最优超平面，将不同类别的样本点分隔开来。而这个最优超平面由支持向量组成，支持向量是离分隔超平面最近的样本点。
SVM的目标是找到一个最大间隔(hyperplane)，使得支持向量到该超平面的距离最大化。为了达到这个目标，SVM引入了拉格朗日乘子法和KKT条件来进行优化。接下来，我们将对SVM的公式进行详细推导。
假设我们有一个二分类问题，其中训练样本集为{Xi, yi}，其中Xi表示第i个样本的特征向量，yi表示对应的类别标签(-1或1)。我们的目标是找到一个超平面wx b0，使得正负样本能够被可靠地分隔开来。
首先，我们定义超平面wx b0上的任意一点x0到超平面的距离为d(x0)。根据数学知识，我们可以将这个距离表示为：
d(x0) (w * x0 b) / ||w||
其中||w||表示w的模长。为了求解最大间隔问题，我们需要找到最大化d(x0)的w和b。由于距离d(x0)是与w和b成比例的，所以我们可以将目标函数改写为：
max d(x0) max [(w * x0 b) / ||w||]
为了简化计算，我们可以将目标函数改写为等价的形式：
max [(w * x0 b)] (1)
约束条件为：yi * (w * xi b) - 1 > 0
然后，我们通过引入拉格朗日乘子αi来将约束条件转化为目标函数的一部分。于是，问题可以重新表述为：
L(w, b, α) 1/2 * ||w||^2 - Σ αi * [yi * (w * xi b) - 1]
其中，Σ表示对所有样本求和。这个目标函数可以通过求对w和b的偏导数，并令其等于0来求解。
通过求解偏导数我们可以得到以下两个方程：
?L/?w 0 > w Σ αi * yi * xi
?L/?b 0 > Σ αi * yi 0
将以上两个式子带入目标函数，得到新的目标函数：
L(w, b, α) Σ αi - 1/2 * Σ Σ αi * αj * yi * yj * (xi * xj)
这是一个二次规划问题，可以通过求解对偶问题将其转化为对偶形式。最终，我们可以得到支持向量机的决策函数为：
f(x) sign( Σ αi * yi * (xi * x) b )
其中αi为拉格朗日乘子的解，(xi * x)表示内积。根据不同的核函数类型，支持向量机可以应用在不同的领域，如线性SVM、多项式SVM和高斯核SVM等。
综上所述，本文详细解析了支持向量机(SVM)的原理，并对其公式进行了详细推导。希望通过这篇文章，读者能够更加深入地理解支持向量机算法的工作原理及其数学推导过程。
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