matlab二阶常微分方程的精确解 如何用matlab求解定态薛定谔方程？
如何用matlab求解定态薛定谔方程？
摘要：本文是需要对薛定谔方程的提出及发展做了另一个很简单介绍。
然后再，以在一维空间运动的粒子近似的谐振子的体系为例，详细详细介绍了矩阵法求高人薛定谔方程的过程及公式推导。结果，实际MATLAB编程仿真利用了求解结果。关键词：定态薛定谔方程求解矩阵法MATLAB仿真薛定谔方程简介1.1背景资料薛定谔方程是由奥地利物理学家薛定谔提出的量子力学中的一个基本上方程，是将物质波的概念和波动方程相结合组建的二阶偏微分方程，可描述微观粒子的运动，每个微观系统都是一个相对应的薛定谔方程式，通过解方程可我得到波函数的详细形式这些填写的能量，从而所了解微观系统的性质。其仅适用于速度不太大的非相对论粒子，其中也就没包含关于粒子自旋的描述。当计及相对论效应时，薛定谔方程由相对论量子力学方程所完全改变，其中也真包含了粒子的自旋。薛定谔方程组建于1926年。它是另一个非相对论的波动方程。它反映了具体解释微观粒子的状态随时间变化的规律，它在量子力学中的地位应该是牛顿定律对于经典力学一样的，是量子力学的基本假设之一。设具体描述微观粒子状态的波函数为Ψ（r，t），质量为m的微观粒子在势场V（r，t）中运动的薛定谔方程为在给定初始条件和边界条件以及波函数所满足的条件的单值、有限、在不的条件下，可解出波函数Ψ（r，t）。由此可计算出粒子的分布概率和任何很可能实验的平均值（期望值）。当势函数V不依恋于时间t时，粒子更具可以确定的能量，粒子的状态一般称定态。定态时的波函数可改写成式中Ψ（r）一般称定态波函数，柯西-黎曼方程定态薛定谔方程，这一方程在数学上称作本征方程，式中E为本征值，是定态能量，Ψ（r）又称为一类本征值E的本征函数。量子力学中求解粒子问题常归结到为解薛定谔方程或定态薛定谔方程。薛定谔方程引申出了微观物理世界物质运动的基本规律，被广泛地用于原子物理、核物理和固体物理，对于原子、分子、核、固体等一系列问题中求解的结果都与换算条件符合得很不错。定态薛定谔方程直角坐标系形式定态薛定谔方程球坐标系形式1.2定态薛定谔方程条件V（r,t）V(r)，与t没有关系。用分离变量法,令Ψφ(r)f(t)，代入薛定谔方程，得两个方程：此称定态薛定谔方程雷鸣定态波函数形式：特点：波函数由空间部分函数与时间部分函数乘积；B．时间部分函数是考虑的。定态波函数几率密度W与t无关，几率分布的位置不随时间而变，因此一般称定态。1.3本征方程、本征函数与本征值算符：本征方程：λ：本征值，有多个，甚至无穷尽多个ψλ：本征值为λ的本征函数，也有多个，甚至无穷无尽多个，老是一个本征值对应多个差别的本征函数，这一般称简并。若一个本征值按的完全不同本征函数数目为N，则称N重简并。1.4定态情况下的薛定谔方程象解1、定态薛定谔方程或不含时的薛定谔方程是能量本征方程，E就被称体系的能量本征值，而或者的解称为能量的本征函数。2、当不显含时时，体系的能量是收恒量，可用分离变量。3、解定态薛定谔方程，关键是写出哈密顿量算符。2.利用矩阵法求解答薛定谔方程以在一维空间运动的粒子组成的谐振子的体系为例。该粒子的势能是，是谐振子的角频率，所以滤波子的哈密顿量为。当时，谐振子的势能 无穷大，所以，粒子没有办法在不大的空间上运动，并且能量值谱是分立的。下面按结构矩阵的方法，确认谐振子的能量后戏台值。从运动方程出发去（1）而势能那就又联立解上式（1）得即（2）在矩阵形式下，该方程可以写为含时坐标矩阵元（3）对它求导数，我们我得到代入上式后，有（4）其中（5）因为，除了当或外，所有的坐标矩阵元都等于零零当时，由（5）式有即同理可知，并且，只能改变时，才能得到频率即所以不为零的坐标矩阵元为依据什么定义[12-14]对于存在地的波函数，应为实数，所有的矩阵元也为实数，由厄密算符的性质得是为计算坐标的矩阵元，由对易关系又x1上式易得写为矩阵形式，有依据什么矩阵的乘法规则，有又，则有由前面的分析知，仅有时，才修真者的存在矩阵元，联立解上式，从该方程我们这个可以结论矩阵元不为零，只不过当时，矩阵元则即又乘以3，不出最后，我们得到坐标矩阵元不为零的表达式又滤波子的能量是可以单独意思是，且，换算该能量得其中，相对于全部的1求逆，只能当参数时坐标矩阵元不为零，所以换取亦即而，谐振子的能级以为是间隔，最低能级是MATLAB仿真的结果线性谐振子的前六个本征函数上图为线性谐振子的前六个本征函数，图中纵轴横线来表示具高不同能量的超经典线性谐振子的振动范围。不大方势阱前六个本征函数上图为有限方势阱的前六个本征函数，图中纵轴横线它表示具高相同能量的最经典线性谐振子的振动范围。
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ODE:(Ordinary Differential Equations)常微分方程
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