递归算法的生活实例 递归和递推有什么不一样。用起来哪个快一些？
递归和递推有什么不一样。用起来哪个快一些？
递归是递归循环，比递归更容易理解和使用，但递归算法运行速度更快，代码更简单。递归算法也有缺点，主要是占用空间大。数学上，所有的递归算法都可以用递归(循环)算法代替，但不是所有的循环算法都可以用递归代替。
折半查找递归算法如何实现？
在计算机科学中，半搜索(:海I fin τ er α | search)，也称为二分搜索法(: I窄搜索)和对数搜索(: | ogar I THM I CSEαrch)是在有序数组中查找特定元素的搜索算法。
搜索过程从数组的中间元素开始。如果中间的元素正是要搜索的元素，则搜索过程结束。如果特定元素大于或小于中间元素，则在数组中大于或小于中间元素的那一半中进行搜索，并从中间元素开始比较。
递归数列四大定理？
递归顺序
递归序列:在给定A1后，用给定的递归公式An 1f(An)从上一项定义最后一项得到的序列。
基本信息
Mbth递归序列
定义
给定，用递归公式从前段定义的最后一项得到的数列称为递归定义数列，简称递归数列。
等差级数
如果递归函数是，那么给定，递归公式定义的级数是等差数列，很容易求出它的通项公式是。
等比级数
如果递归函数是，那么假定递归公式所定义的级数是等比级数，就很容易求出它的通项公式是。
一阶线性递归序列
等差数列和等比数列。;的特殊递归函数，比这些稍微复杂一点的是普通一元线性函数定义的递归序列。
如果递归函数是一元线性函数，那么由递归公式定义的序列称为一阶线性递归序列。给定后，如何求已定义的一阶线性递归数列的通项？一般有两种
(1)我们可以把项一起改写为，如果记住了，这就成了递归几何级数的递归。由，即可用。
递归顺序
递归顺序
(2)也可以猜测后用待定系数法求和，然后用数学归纳法证明。
例1给定，求一阶线性递推公式定义的数列的通项。
显然，解决方案1将被改写为，记住，
有。所以，终于有了。
解法二猜测，由，，通过待定系数法，即。让 让我们用数学归纳法来证明它。
递归顺序
初步核实:当，，相遇。通用公式。
一般假设:结论成立，即，
渐进递归:甚至结论也成立。
因此，它确实是所寻求的一般公式。
非线性递归
有很多有趣的数学问题可以归结为递归序列，但对应的递归函数不一定是线性函数，研究其收敛性时不一定要找到通项。
例1已知，，，试图证明递归定义的数列收敛并求其极限。
解利用数学归纳法，可以证明数列单调递增。事实上假设。
数学归纳法可以用来证明数列有上界。事实上假设。
根据单调有界序列，它必收敛，必集合，必存在，
递归顺序
因此，唯一的正解可以从，即。
例2已知，，，尝试证明递归定义的数列的收敛性，求其极限。
解利用数学归纳法，可以证明序列的子序列单调约化存在一个0和0的下界。
利用数学归纳法，可以证明存在一个上界1，且序列的子序列单调递增存在一个上界1。
因此...
一阶线性差分方程
一阶线性递归序列的递归关系对应一个一阶线性非齐次差分方程，一阶线性非齐次差分方程的求解本质上体现了求一阶线性递归序列通项的方法。
二阶线性齐次递归序列
例3设x13，x27，x(n 2)5x(n 1)-6Xn，求数列的通项。
该解将递归定义改写如下:已知数列是以3为公比的几何级数，由此可得，
改写为，我们可以知道数列是几何级数，由此可以得到。
最后，级数的通项可以得到如下。
该例题的解法是一类常见问题，具有典型意义和推广价值。
例4(斐波那契数列)设F11，F21，F(n ^ 2)F(n ^ 1)Fn，求数列的通项{Fn}。
斐波那契数列的分析与求解是一个非常典型的二阶递归数列。这类二阶线性齐次递归数列问题的求解，可以从字规3的求解中得到启发。如果方程(特征方程)有两个不相等的实数解(特征根)，则数列的通项由二阶线性齐次F(n ^ 2)pF(n ^ 1)qfn 0递归定义，其中待定常数由两个初值给出。
这里斐波那契数列对应的特征方程为，特征根为。如此有效
根据，可以确定
递归序列极限
设区间I，若f(x)在区间I单调上升，agta(alta)，则序列{a}单调上升(单调下降)；如果f(x)在区间I中单调递减，则序列{a}不是单调的。
证明:设f(x)在区间I单调上升，从agta得到f(a)gtf(a)，即agta。如果agta，f(a)gtf(a)，即agta。因此，对于agta，即序列{a}单调上升。当alta时，也可以证明序列{a}单调递减。另一个结论可能类似。证书。
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