画分段函数图像步骤 分段函数必连续吗？
分段函数必连续吗？
不一定。分段函数是否为连续函数取决于两点。首先，在分段点上有什么定义吗？第二，分割点的两边是否连续（简言之，左极限和右极限存在且相等）。从图像上看，连续函数应该是定义域内的连续曲线。对于第一种情况，例如函数y=（x-1）/（x-1），它不是在点x=1处定义的。对于第二种情况，例如Tan函数，左极限和右极限不存在，并且在x=pi/2时不相等。函数y=1（x0），是一个连续的分段函数。
分段函数连续的条件？
判断一个分段函数在域中是否连续的关键是它在分段点上是否连续。如果不在分段点上，则分段函数是初等的连续函数。线段是否连续，一般用左连续或右连续来判断。例如，如果分段点是a，我们可以分别从a的左侧找到x趋向于a的极限，从a的右侧找到x趋向于a的极限。如果两者都等于f（a），也就是说它们是左连续和右连续的，那么它们在a中是连续的，否则它们就不是连续的
，当分段点的两个解析表达式对应的y相等时，它们是连续的。例如，最简单的一个是当x>=0时y=2x，当x<0时y=x，它是连续的，因为x=0的两个解析表达式对应相同的y，我们要看分段函数的函数表达式是否连续（这是初等函数是否连续的一般方法），然后要看分段函数的左右极限是否等于函数值，如果相等，它们是连续函数。剖切点的左极限由左函数确定，剖切点的右极限由右函数确定。函数y=f（x）当自变量x的变化很小时，因变量y的变化也很小。例如，如果温度随时间变化，只要时间变化很小，温度的变化也很小；再如，如果自由落体的时间变化随时间变化，只要时间变化足够短，位移的变化也很小。对于这一现象，我们认为因变量相对于自变量是连续变化的，连续函数在直角坐标系中的像是一条没有断裂的连续曲线。如果自变量在某一点的增量趋于零，则相应函数值的增量也趋于零，则f（x）在该点称为连续的。函数极限的定义中强调了当x→x0时f（x）是否有极限与f（x）在x0点是否有定义无关。然而，由于函数在x0处是连续的，这意味着f（x0）必须存在。显然，当Δx=0（即x=x0）时，Δy=0<ε。因此，在上述推导中，可以取消0< |Δx |的条件。
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