hilbert空间的定义 有限维Hilbert空间是什么呢？

有限维Hilbert空间是什么呢？

希尔伯特空间是由空间的内积定义的，它的元素没有任何限制，只要定义元素之间的内积就行，特殊情况下的有限维希尔伯特空间：一般几何空间、多项式空间等向量空间指的是线性空间，即，空间中的元素满足线性关系。线性空间的特点是它有一组基，可以用来表示整个空间。可以证明，只要定义内积，元素之间的线性关系就满足。因此，Hilbert空间也可以定义为定义内积的空间。所以Hilbert空间是一种特殊的线性空间

在数学领域，Hilbert空间是欧氏空间的推广，它不再局限于有限维的情况。与欧几里德空间类似，希尔伯特空间也是一个内积空间，其中包含了距离和角度的概念（以及由此衍生的正交性和垂直度的概念）。另外，Hilbert空间也是一个完全空间，所有的Cauchy序列都等价于收敛序列，因此微积分中的大多数概念都可以无障碍地推广到Hilbert空间。Hilbert空间为任意正交系统的Fourier级数和基于多项式表示的Fourier变换提供了一种有效的表达式，也是泛函分析的核心概念之一。希尔伯特空间是公式化数学和量子力学的核心概念之一。

对于复向量空间H上的给定内积，可以如下导出范数：

如果此空间对于此范数是完全的，则称为希尔伯特空间。这里的完备性意味着每个Cauchy序列收敛到这个空间中的一个元素，也就是说，它们和一个元素之间的范数差的极限为0。任何Hilbert空间都是Banach空间，反之亦然。

任何有限维内积空间（如欧氏空间及其点积）都是希尔伯特空间。但从实际应用的角度来看，无穷维希尔伯特空间更具价值，如

*酉群的表示理论。

*平方可积随机过程理论。

*希尔伯特空间偏微分方程理论，特别是狄里克莱问题。函数谱分析与小波理论。

*量子力学的数学描述。

内积可以帮助人们从“几何”的角度研究希尔伯特空间，用有限维空间中的几何语言来描述希尔伯特空间。在所有的无限维拓扑向量空间中，Hilbert空间的性质最好，最接近于有限维空间的情形。

傅里叶分析的一个重要目的是将给定函数表示为给定基函数族的和（可能是无穷和）。在Hilbert空间中，这个问题可以更抽象地描述为：任何Hilbert空间都有一个正交基族，每个Hilbert空间中的元素可以唯一地表示为基族中元素的和或它们的倍数。

希尔伯特空间的确切定义？

希尔伯特空间是一类具有内积的Banach空间。Hilbert空间给出的是内积，它决定了一个范数，即X的范数定义为X和它自身的内积。所以Hilbert空间自然就变成了Banach空间。很容易解释内积定义的范数满足平行四边形方程，即。因此，不满足平行四边形等式范数的Banach空间不能是Hilbert空间。

Banach空间与Hilbert空间的关系？

如果度量空间在实数或复数字段中是完全的，则称为完全度量空间。实域或复域上的完全线性赋范空间称为Banach空间。内积空间是一种特殊的线性赋范空间，一个完备的内积空间称为Hilbert空间，它的范数是由一个内积导出的。

本文将“范数”赋给线性空间，然后基于范数导出距离，即线性赋范空间。完全线性赋范空间称为Banach空间。从标准，我们可以看到长度。线性赋范空间等价于定义长度的空间。所有线性赋范空间都是距离空间。

在有限维空间中，向量的范数等于其模的长度。但在有限维欧氏空间中，有一个非常重要的概念——向量之间的夹角，特别是两个向量的正交性。内积空间是一种特殊的线性赋范空间。在这类空间中，我们可以引入正交性和投影的概念，从而在内积空间中建立相应的几何。利用由内积导出的范数定义距离，Banach空间变成Hilbert空间。

4.2差分

在度量空间中，点序列的极限是由距离的概念引入的，而只有距离结构而没有代数结构的空间在应用过程中受到限制。线性赋范空间和内积空间是距离结构和代数结构相结合的产物，它们比距离空间有很大的优势。

线性赋范空间是指在线性空间中，向量给定一个范数，即指定向量的长度，但不指定向量的角度。

在内积空间中，向量不仅有长度，而且有两个向量之间的夹角。特别地，定义了正交性的概念。正交性的概念是赋范线性空间与内积空间的本质区别。任何内积空间都是线性赋范空间，但线性赋范空间不一定是内积空间。

赋范线性空间X成为内积空间的充要条件是：norm‖。“对于所有x，y属于x，满足

‖x，y‖2‖x-y‖2=2‖x‖2‖y‖2（3-3）

上述公式（3-3）称为平行四边形公式或中线公式。

距离空间,线性空间,赋范线性空间,Banach空间,内积空间,Hilbert空间的内在关系？

范数可以由内积空间中的内积定义。相反，范数不必用内积来定义，所以赋范线性空间是一个比内积空间更广泛的概念。距离可以用范数来定义。相反，只有距离满足平移不变性和均匀性，才能定义范数。因此，度量空间比赋范线性空间更宽。Banach空间是完全赋范线性空间。希尔伯特空间是一个完备的内积空间。所以Hilbert空间是Banach空间的特例，Banach空间是完备度量空间的特例。

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