椭圆弦的中点轨迹 椭圆与直线相交，求中点轨迹方程？

椭圆与直线相交，求中点轨迹方程？

直线斜率为K（K≠0），则线性方程：Y-3=K（X-2）同时解此方程和椭圆方程，其根对应于P1和P2的坐标；将方程分别排列成X和Y的形式：（x2/9）[K（X-2）3]2/4=1[（Y-3）2K]2/（9k2）Y2/4=1，按标准形式排列：（9k2 4）X2（54k-36k2）x常数项k=0（9k2 4）Y2（16k-24）y-4（5k2）12k-9）=0。注意p1p2中点的坐标是p1p2坐标之和的一半，p1p2坐标是上述两个方程根之和的一半。利用吠陀定理，我们可以知道p1p2坐标的和是：横坐标和=-（54k-36k2）/（9k24）=中点横坐标的2倍=2x纵坐标和=-（16k-24）/（9k24）=中点纵坐标的2倍=2Y。比较二者，我们可以得到：X/y=-9K/4，即，k=-4x/9y，将表达式代入横坐标或纵坐标中消去k，得到轨迹方程：16（x-1）236（y-1.5）2=97，当k=0时，无交点；当k不存在时，直线为x=2，中点坐标为（2，0），明显满足上述方程，所以中点轨迹方程是16（x-1）236（y-1.5）2=97，这也是一个椭圆。另外：其实要想彻底解决这个问题，我们应该分析K的取值范围，写出轨迹方程的定义域，但是这个问题的计算太麻烦了，不能省略，有兴趣的话可以自己推导。（我觉得题目A的坐标应该是（3，2），方便计算！）

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