交换群两元素乘积的阶 任意n个元素乘积的和

对于由a生成的群，

包含在G中，根据拉格朗日定理，我们可以得到| | |整除| G |=P是素数，那么|]|=1或P |]|=1意味着只有一个元素，a=1 |]|=P=| G |，那么

=G，所以G是循环群，那么G也是交换群。2设g={1，a，B，C}，则g中元素的借用只能是1，2，4（1）如果g有4阶元素，设a^4=1，则B和C只能是a^2，a^3，则g={1，a，a^2，a^3}

g是循环群，即交换群（2）如果g没有4阶元素，则它只能是a^2=1，B^2=1，C^2=1，a^2=1^-1（a的逆）=ab^-1=B，那么ab∈g，它也是ab*ab=1的2阶元素，a^-1*ab*B^-1=a^-1*B^-1，Ba=a^-1*B^-1=ab，所以g是交换的（3）S3是一个3阶对称群，有123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123，我们可以发现123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123123。综上所述，1阶和2阶群显然是3阶、5阶和7阶的交换群，也被称为（1）阶的交换群，而（2）阶的4阶群则是G是p2阶群的交换群。得出了p-群的中心是非平凡的结论，即存在一个非单位元a∈g，它与g中的所有元是可交换的，a的阶被p2除，因此是p或p2。如果a是p2阶元素，则G=<A>由a生成，是p2阶循环群，G是阿贝尔群。如果a是P阶元素，则考虑子组n=<A>。a和G的所有元素都是交换的，N是G的正规子群。如果商群G/N是P阶群，BN是生成元，则G/N的元素可以表示为（b^k）N，k=0，1，2，P-1。因此G中的元素可以唯一地表示为B^k，a^J，0≤J，k<；P。很容易证明G中的任意两个元素可以被a交换，而B.G是交换群。

任意n个元素乘积的和 共轭的乘积等于乘积的共轭 矩阵对角线元素之积

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