循环群的生成元怎么求 怎样证明无限循环群和任意循环群同态？

怎样证明无限循环群和任意循环群同态？

设g=<x是无限循环群，X是它的生成元，H=<A是n阶循环群，a是它的生成元。定义映射σ：g-h，x-a。直接验证表明σ是从g到h的群同态。此外，很容易证明σ是完全同态（即σ=h的映像），其同态核=<x^n，即x^n生成的子群。

循环群必为交换群，但交换群未必是循环群，这句话对吗？

由一个元素生成的群一定是循环群吗?还有循环群一定是由一个元素生成吗？

由一个元素生成的群必须是循环群，因为循环群可以由一个元素生成。循环群的定义是任何元素都可以表示为固定元素的幂。此外，循环群也是交换群。第二个问题：循环群可以由一个元素生成，这个元素被称为循环群的生成器。循环群的生成器可能不是唯一的。

为什么说阶不大于5的群必是交换群呢？

循环群必须是阿贝尔的，所以有限循环群和无限循环群是阿贝尔的。

带证明：

证明：设（g，*）为循环群，A为g的生成元。

设

]群（g，*）为阿贝尔群。

4。一些重要结论

]1。循环群的子群必须是循环群，

2。如果| g |是素数，那么群g必须是交换群，

3。如果| g |≤5，则群g必须是交换群，

4。如果G是有限循环群，| G |=n，]

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