函数极限的ε—δ定义法 函数连续性的定义是什么?如何判定一个函数是连续的？

函数连续性的定义是什么?如何判定一个函数是连续的？

设f（x）定义在点x0的邻域内。如果LIM（x→x0）f（x）=f（x0），那么f（x）在x0点是连续的。

如果函数f（x）在区间I的每个点上都是连续的，则称f（x）在区间I上是连续的。

（1）函数在x0处定义；

（2）limf（x）在x-> x0；

（3）limf（x）=f（x0）在x-> x0时存在。

则初等函数在其域中是连续的。

连续函数的定义是什么？

如果函数y=f（x）在x0附近定义，并且x0的左右极限等于f（x0），那么我们称函数f（x）在x0处连续。

可微函数必须是连续的。

什么是函数的连续性？

当然，这只是一个粗略的描述。我们不会满足于这种直观的理解。那么什么样的函数叫做连续函数呢？其确切定义如下。

所谓一点连续是指x越接近x0，f（x）越接近f（x0）。换句话说，函数在这一点上的极限值等于函数在这一点上的值。

连续函数是一类非常重要的函数，因为它具有许多优良的性质。感兴趣者可参考相关资料，此处不再赘述。

值得注意的是，基本初等函数在其定义域中是连续的。

高等数学连续的定义？

在数学中，连续性是函数的一个属性。直观地说，连续函数是当输入值的变化足够小时，输出值的变化就足够小的函数。如果输入值的微小变化会引起输出值的突然跳变，甚至无法定义，则此函数称为不连续函数（或不连续函数）。

连续性的最基本定义是拓扑，这将在术语连续函数（拓扑）中详细讨论。在序理论中，特别是在领域理论中，有另一种抽象的连续性是从这一基本概念衍生出来的：Scott连续性。

连续性与可导性？

让我们先看看几个定义：

（1）连续点：如果函数在邻域中有一个定义，并且如果X->x0，limf（X）=f（x0），那么x0称为f（X）的连续点。

一个推论是，y=f（x）在x0处的连续性等于y=f（x）在x0处的左右连续性，并且y=f（x）在x0处的左右极限等于f（x0）。

这包括函数连续性必须同时满足三个条件：

（1）函数定义在x0；

（2）limf（x）存在时x-> x0；

（3）limf（x）=f（x0）时x-> x0。

基本函数在其域中是连续的。

（2）连续函数：如果函数f（x）在其定义域的每个点上都是连续的，那么函数f（x）称为连续函数。

（3）连续性与可微性的关系：连续性是可微性的必要条件，即函数可微性必须是连续的；不连续性不能是可微的；连续性不能是可微的。典型例子：带尖点的连续函数。

函数在某一点连续说明什么？

如果函数在某一点是连续的，可以解释如下：

1。这个函数在这一点上有一个定义。

2. 函数的极限在这一点上存在，即函数的左极限和右极限在这一点上存在并相等。

3. 这个函数在这一点上的极限值等于它的函数值。

自变量x的变化很小时，因变量y的变化也很小。例如，如果温度随时间变化，只要时间变化很小，温度的变化也很小；再如，如果自由落体的时间变化随时间变化，只要时间变化足够短，位移的变化也很小。对于这一现象，我们认为因变量相对于自变量是连续变化的，连续函数在直角坐标系中的像是一条没有断裂的连续曲线。根据极限的性质，函数在某一点上是连续的当且仅当它在该点的左右两侧是连续的。

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