什么是正交 什么是正交变换矩阵？
什么是正交变换矩阵？
1. 正交变换x=py：表示矩阵P是正交矩阵，即P的列（行）向量是正交的，长度为1。正交矩阵满足：P^TP=PP^t=e，即P^（-1）=P^t。在二次型中，我们希望找到一个可逆矩阵C，通过可逆变换x=cy，使二次型f=x^tax=（cy）^tacy=y^t（C^TAC）y成为标准形式，即使C^TAC成为对角矩阵。由实对称矩阵的对角化可知，对于任意对称矩阵a，总是存在一个正交矩阵P，使得P^（-1）AP是对角矩阵。因为正交矩阵P^（-1）=P^t，P^tap是对角矩阵。这样，如果我使用正交变换x=py，我可以将二次型f=x^tax改为f=y^t（P^tap）y=y^t（P^（-1）AP）y=y^t∧y（其中∧是对角矩阵）。通过正交变换实现了二次型的标准化。这是正交变换的第一个函数。② 正交变换可以用来研究图形的几何性质。因为正交矩阵满足：P^TP=PP^t=e，对于正交变换x=py，有| x |=√（x^TX）=√（y^TP^TPY）=√（y^ty）=| y |。其中| x |表示向量x的长度。因此，经过正交变换后，| x |=| y |，即向量的长度保持不变。同样可以证明
（x1，X2，x3）=2x1x2x1x2x1x2x2x3对应的实对称矩阵是
a=[（0，1，1）t，（1，0，1）t，（1，1，0）t]对角化如下：
首先，求a的特征值，由| ke-a |=|（k，-1，-1）t，（-1，k，-1）t，（-1，-1，K） t |=（K-2）*（K-1）1）对于特征值K=2，（2e-a）z=0，特征向量z=（1，1，1）t，
单位α1=（1/√3，1/√3）t。
对于特征值K=-1，（-e-a）z=0，特征向量z=（1，-1，0）t或（1，0，-1）t，
施密特正交化给出
α2=（1/√2，0）t，α3=（1）/√6，1/√6，-2/√6）T.
正交变换化标准型公式？
实对称矩阵必须具有相似的变换矩阵，并且是正交矩阵，正交矩阵的逆等于正交矩阵的转置。根据矩阵相似性和矩阵同余的定义，如果矩阵A是实对称矩阵，那么它必须存在于正交矩阵P中，使得P*（-1）AP=B和P*（T）AP=B。但是如果矩阵A不是实对称矩阵，那么相似性与矩阵同余无关，因为矩阵A不一定有变换矩阵P，所以A和B是相似和全等的
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