循环群生成元怎么找 怎样证明无限循环群和任意循环群同态？

怎样证明无限循环群和任意循环群同态？

设g=<x是无限循环群，X是它的生成元，H=<A是n阶循环群，a是它的生成元。定义映射σ：g-h，x-a。直接验证表明σ是从g到h的群同态。此外，很容易证明σ是完全同态（即σ=h的象），其同态核=<x^n，即，由x^n生成的子群。

两个无限循环群之间的映上同态总是同构？

设g对二元运算“·”形成一个无限级的循环群，单位元素为e。根据循环群的定义，存在a∈g，因此g中的元素可以表示为一个^n，其中n为整数。那么映射φ（n）=a^n就是从整数集Z到群G的满射，也很容易看出φ（x y）=a^（x y）=a^x·a^y=φ（x）·φ（y），即φ是整数加法群到G的同态，假设Ker（φ）包含n≠0，即存在φ（n）=a^n=E，对于G中的任何元素，设为a^m，存在一个整数Q，R满足m=nqr，其中0≤R | n |。因此，a^m=a^（NQ R）=（a^n）^Q·a^R=a^R，即a^m等于E，a，a^2，…，a^（| n |-1）之一。则G最多有n个元素，这与G是矛盾的，则φ：Z→G是双射的，是群同态，是同构映射。任何一个无限级循环群都与Z同构，因此它们是同构的

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