环的零元是什么 1×0=0,是因为0乘以任何数字都等于0，还是因为1乘以任何数字都等于它的本身？
1×0=0,是因为0乘以任何数字都等于0，还是因为1乘以任何数字都等于它的本身？
我记得这个问题在网上引起了热烈的讨论，但没有最终的权威标准答案。
在我看来，这两个答案都是正确的。但是，我们必须把它们全部列出，以免一边倒。原因如下：
在这个问题中，被乘数“1”和乘数“0”都是自然数。而且因为没有其他的话题限制，二者的逻辑地位应该是平等的。因此，应该分别从被乘数1和乘数0的角度来研究。
1. 从被乘数1的角度看：在自然数中，1乘以任意数，数不变。因此，可以认为1x0=0是由于被乘数1的性质，它保持乘数0不变；
2。从乘数0的角度来看：在自然数中，0乘以任何数，结果就是0。因此，可以说1x0=0是由于乘数0的性质，它保持自然数0不变。
你能证明：0^0=1吗？
在整数环中，0⁰不存在（无意义），因为：
0⁰=0⁻ν=0ü·0⁻ü，0 0⁻ü的逆不存在。
有理数域、实数域和复数域都是整数环的扩展，所以0⁰仍然没有意义。
假设存在一个⁻KUL，则存在一个·a⁻KUL=1（1）。然而，由于a是零因子，存在B≠0（2），使得B·a=0。则式（1）两边B的左乘有，B·a·a⁻KUL=B·1，0=B，通过简化得到，这与式（2）是矛盾的。
对于环中的任何可逆元素a，都有a⁰=aü⁻к=aü·aüк=1。
当然，在零环（只有一个元素的环）中，因为1=0，0⁻ull=1⁻ull=1=0，那么0⁰ull=1=0。（这可能是问题所有者想要的答案）
补充（2019年10月3日）：
上面给出的解释是有缺陷的，因为按照这种思维方式，它如下：
0ν=0？⁻ а = 0? · 0? ⁻а
这导致了0а的无意义，但显然0а=0是有意义的。
更好的解释如下：
考虑A⁰=1的求导过程，
有，A=Aü=Aü+Aü=Aü·A⁰，即Aü·A⁰=A，当A≠0时，Aü的逆存在，则Aü在方程两边左乘A，Aü·Aü·A⁰=Aü·A，然后1·a⁰=1，即a⁰=1。
在这里，我们只能证明a⁰=1的a≠0的情况，而不能证明a=0的情况。因此，为了严格起见，我们一般认为0⁰是没有意义的。
如果我们不得不认为0⁰=1，它只能是强制的，不能从非零幺正环的定义中导出。
证明一个至少有两个元素的且没有零因子的有限环，R是一个除环？
证明：设v是R中的非零元素集。我们知道v中至少有一个元素。对于任何a，B属于v。因为R中的乘法形成半群，所以a*B属于R。因为R是一个没有零因子的环，并且a和B不等于0，所以a*B属于v，也就是说，v接近乘法。显然，V中的任何一对元素都满足结合律，因此V构成一个半群。因为R是一个没有零因子的环，乘法满足消去律，所以V中的乘法也满足消去律。因此，任何满足消去律的有限半群都构成一个群。那么R中的所有非零元素组成一个群，所以R是一个除环。
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