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循环群的阶怎么求 阶数为5,6,14,15的循环群的生成元分别有多少个?

浏览量:3506 时间:2021-03-10 12:51:20 作者:admin

阶数为5,6,14,15的循环群的生成元分别有多少个?

6阶单位根群U6,这是一个循环群。每个元素的顺序是1(1)、2(a^3)、3(a^2、a^4)和6(a、a^5)。6阶的两个元素是生成器。

设G是6阶循环群,则G的生成元有____________个?

子组的顺序是组顺序的因子。有四个6的因子:1,2,3和6,所以有四个亚组。生成器不一定是唯一的。这里,a,a^3和a^5都是生成器。

一阶群有几个生成元?

发电机为1、3、5、7、9、11、13、15。所有小于16的数都是16的互质。2阶1[0]的子群([8]={[8][0]}4阶([4]={[4][8][12]})

循环群必须是阿贝尔群,所以有限循环群和无限循环群都是阿贝尔群它是G的生成元

]群(G,*)是阿贝尔群。

4。一些重要结论

]1。循环群的子群必须是循环群,

2。如果| g |是素数,那么群g必须是交换群,

3。如果| g |≤5,则群g必须是交换群,

4。如果G是有限循环群,| G |=n,]

为什么说阶不大于5的群必是交换群呢?

证明了如果G是循环群,则G必须由元素生成,如果取其生成元a,则G=(a)。

H是G的子群(非空,操作闭合,结合律)。如果h是一个恒等群,那么h显然是一个循环群。如果h不是单位群,则h必须包含具有最小正幂m>0的元素a^m。

如果M<0,那么a^M的逆元素a^(-M)也在H中,并且-M>0,所以我们总是取M大于0。

那么H中的元素可以表示为a^m的任意幂,即(a^m)^n=a^(m·n),n∈Z。假设H中存在一个元素a^(m·n r),0<R<M。如果这个元素不存在,那么G组是a^m生成的循环组。现在证明这个元素不存在。

假设h组中有a^s∈h和a^s=a^(m·n r),即a^s=(a^m)^n·a^r。如果a^r放在方程的一侧,我们可以得到a^r=a^s·(a^m)^(-n),其中a^s和a^m是h中的元素,a^r也应该属于h。但是0<R

也就是说,H中的任何元素a^s是a^m的任意幂,因此H是由a^m生成的循环群。

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