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只有单调函数才存在反函数吗 存在反函数的函数一定单调吗?为什么?

浏览量:2926 时间:2021-03-10 12:05:39 作者:admin

存在反函数的函数一定单调吗?为什么?

反函数不一定是单调函数。事实上,单调性是反函数存在的充要条件。如果函数是分段单调的,则可以分别处理每一段,并求出每一段的逆函数。但是我们应该知道,一段的反函数不是整个域的反函数。对于连续函数,单调性是反函数存在的一个充要条件。如果你只是一个高中生,你需要理解上面的结论(你不需要记住它们),你不需要再看下去:这里有一个例子,证明了逆函数的存在,尽管函数不是单调的:设f是从R到R的映射。当x是有理数时,f(x)=x,当x是有理数时一个无理数,f(x)=-x。用这种方法构造的函数不是处处单调的,而是存在逆函数。

单调函数才有反函数这句话对吗?为什么?

不正确。只有一对一的对应函数才有反函数。虽然单调函数都是一对一的函数。但是一对一的函数并不一定是单调的。所以不仅单调函数有反函数。例如,如果f(x)=1/x,则该函数在定义域中不是单调的,而是一对一的对应函数,因此也存在逆函数。换句话说,单调函数有逆函数,但不是单调函数的函数不一定有逆函数。所以这句话是错的。

反函数一定是单调函数吗?

严格单调函数必有反函数?

是的,严格单调函数必须有反函数。

证明了:

设原函数为y=f(x),x=f-1(y),假设它没有反函数,即f-1不是一个函数,所以有两个不同的点X1和X2,

f-1(Y0)={X1,X2}导致Y0=f(X1)和Y0=f(X2)

设X1<x2,然后单调函数有

f(x1)<F(x2)或f(x1)>F(x2),即Y0<y0或Y0>y0。

有反函数为什么一定要是单调的?

如果有反函数,谁说原来的函数必须是单调的不是很准确。单调函数必须是逆函数。证明(在连续性的情况下),因为函数的定义是一个自变量对应于一个函数值(即X对应于Y),函数的逆函数也必须满足函数的定义,所以如果它不是单调函数(一个Y对应于多个X),反函数定义反函数后会出现一个自变量对应多个函数值(一个X对应多个y)的情况:在定义域中,如果任意一个X值,只有一个y值对应,任意一个y值,只有一个X值对应,函数将具有反函数。例如:y=1/X,它在整个域中不是单调的,但具有反函数。确切地说,如果一个函数有一个逆函数,并且函数在一个区间内是连续的(直观地说,它的图像是一条连续曲线),那么函数在这个区间内必须是严格单调的。它需要一点高等数学知识来证明,但如果你能直观地思考并画出一幅图,就很容易看出来。

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